第210章 三角换元之探

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王强接着问道：“先生，那对于形如 √(x2 - 2x + 1) 这样的式子，又当如何三角换元？”

戴浩文耐心解释道：“先将其化为 √((x - 1)2) = |x - 1| ，再设 x - 1 = t ，若要三角换元，可令 t = sinθ 。”

赵婷疑惑道：“先生，为何有时设 x = cosθ ，有时又设 x = sinθ 呢？”

戴浩文道：“此需视具体问题而定。若方程或式子之形式与 cosθ 或 sinθ 之特性相关，便按需设之。”

张明道：“先生，三角换元法在求定积分时可有应用？”

戴浩文点头道：“自然有。譬如求∫(0 到 1) √(1 - x2) dx ，设 x = sinθ ，则可将其化为三角函数之积分，求解更为简便。”

说罢，戴浩文在黑板上详细推演计算过程。

“诸位且看，如此换元之后，积分上下限亦需相应变换。”

学子们目不转睛，仔细聆听。

王强道：“先生，那若遇复杂之复合函数，可否用三角换元？”

戴浩文笑曰：“只要能寻得恰当之替换关系，未尝不可。就如函数 f(x) = √(2 - x - x2) ，先将其内部配方，再进行三角换元。”

戴浩文边讲边写，学子们不时点头，似有所悟。

李华又问：“先生，三角换元法与均值换元法可有相通之处？”

戴浩文沉思片刻，道：“二者皆为换元之法，旨在简化问题。均值换元常以均值为桥梁，而三角换元则借助三角函数之特性。然具体运用，需依题而定。”

......

戴浩文滔滔不绝，讲解不停，学子们或问或思，气氛热烈。

不知不觉，日已西斜。

戴浩文轻咳一声，道：“今日所讲，尔等回去需多加温习。数学之道，在于勤思多练，方能融会贯通。”

学子们躬身行礼：“谨遵先生教诲。”

众人散去，然对三角换元法之探索，方兴未艾。

又过数日，课堂之上。

戴浩文道：“今来考查一番尔等对三角换元法之掌握。”

遂出一题：求函数 y = x + √(2 - x2) 的最大值。

学子们纷纷提笔计算。

片刻后，赵婷起身道：“先生，学生设 x = √2 cosθ ，解得最大值为√2 。”

戴浩文微微颔首：“不错。那再看此题，若 x、y 满足 x2 + y2 - 2x + 4y = 0 ，求 x - 2y 的最大值。”

众学子再度陷入沉思。

张明道：“先生，可否设 x - 2y = z ，将其转化为直线与圆的位置关系，再用三角换元求解？”

戴浩文抚掌大笑：“妙哉！果能举一反三。”

就这样，在戴浩文的悉心教导下，学子们在三角换元法的海洋中不断探索，学问日益精进。

......

时光荏苒，学子们在数学的世界里越走越远，而三角换元法也成为他们攻克难题的有力武器。